7 博弈论-完全信息静态博弈

7.1 静态博弈模型的策略式表达

参与人（Players）: 是参与人的集合；第个参与人。

策略集（Strategy Set）: 是第个参与人的策略集，是第个参与人策略集的一个元素。所有参与人的策略放在一起，称之为博弈的策略组合，表示为：。

支付函数（Payoff）: 是第个参与人的支付函数，即：。

博弈模型的策略式可用收益矩阵来表示，如下：

7.2 占优策略（Dominant Strategies）

7.2.1 概念

在完全信息静态博弈中，我们将博弈模型表述为：

其中，和是参与人的两个策略，如果对于其他参与人每一个可能的策略组合，参与人选择的收益都小于选择的收益，则称策略相对于策略是严格劣策略，即：

对其他参与人在策略空间中的每一组可能的策略组合都成立。

与此相反，如果对于其他参与人每一个可能的策略组合，参与人选择的收益都大于选择的收益，则称策略相对于策略是严格优策略，即：

对其他参与人在策略空间中的每一组可能的策略组合都成立。

若上面关系变为：

或者：

则称策略相对于策略是弱劣策略或者弱优策略。

占优策略：若是参与人的一个策略，如果对于其他参与人每一个可能的策略组合，选择的收益都大于或等于选择的收益，其中是任一策略，则称策略是参与人的占优策略，即：

对其他参与人在策略空间中的每一组可能的策略组合都成立。

占优策略是指不论对手选择什么，自己的某个策略都不比其他策略差的策略。如果自己的某个策略严格强于（收益大于）任何其他策略，那么该策略还被称为严格占优策略。占优均衡是指如果每个参与人都存在占优策略，那么这些占优策略放在一起，构成了博弈的占优均衡。劣策略是指不论对手选择什么，自己都不会选择的策略。对于劣策略。可以直接剔除以简化博弈，如果剔除到最后只留下唯一一个策略组合，那么这个策略组合就是我们说的重复剔除严格劣策略均衡。

7.2.2 示例

如下所示的囚徒困境博弈

对于其中一个囚徒，对手无论是坦白还是抵赖，选择坦白的结果均好于抵赖，可知，坦白属于占优策略，（-8，-8）称为占优策略均衡。

7.3 纳什均衡（Nash equilibrium）

7.3.1 概述

纳什均衡指的是在其他参与人不改变策略的前提下，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。

在博弈中，如果由所有参与人的各个策略组成的某个策略组合中，任一个参与人的策略，都是对其余参与人的组合的最佳对策，即：

对任意都成立，则称是博弈模型的一个纳什均衡。

🌟Note: 数学定义：任何一方采取的策略都是对其余所有方采取策略组合下的最佳对策；当所有其他人都不改变策略时，为了让自己的收益最大，任何一方都不会（或者无法）改变自己的策略，这时的策略组合就是一个纳什均衡，也叫纯策略纳什均衡。

🌟Note: 在一个博弈模型中，可能没有纳什均衡，可能有一个，也可能有多个。

7.3.2 求解—划线法

对于一个简单的两个参与人的同时博弈，可以用一个以二元数组为元素的支付矩阵来表示，并用“划线法”来确定他的纳什均衡

划线法是最优反应函数的实践应用，具体步骤如下：

把整个博弈的支付矩阵分解为两个参与人的支付矩阵。

在第一个（即位于整个博弈矩阵左方的）参与人（甲）的支付矩阵中，找出每一列的最大者，并在其下画线。

在第二个（即位于整个博弈矩阵上方的）参与人（乙）的支付矩阵中，找出每一行的最大者，并在其下画线。

将已经画好线的两个参与人的支付矩阵再合并起来，得到带有下划线的整个博弈的支付矩阵。

在带有下划线的整个的支付矩阵中，找到两个数字之下均画有线的支付组合。由该支付组合代表的策略组合就是博弈的纳什均衡。

7.4 混合策略纳什均衡

7.4.1 混合策略概述

混合策略是给每个纯策略分配一个概率，一个参与人的策略集就是一个“样本空间”。用表示上的概率分布，即：

期望收益：在这样一个“随机”的博弈中，我们需要计算的是就是期望收益了。期望的收益就是纯策略的博弈结果收益乘上这个结果出现的概率，对每个博弈结果进行求和。

混合策略博弈结果：，引入，则。

给定一个策略式博弈和一个混合策略博弈结果，参与人的期望收益是：

🌟Note: 假设每个局中人是独立决策的，因此是每个局中人的相应策略的概率乘积

7.4.2 混合策略的纳什均衡

一个混合策略博弈结果是一个混合策略纳什均衡(mixed strategy Nash equilibrium，简记为MNE)，对于每个参与人，都有：

通俗地解释就是：每个局中人都选择在对手不改变的情况下的最好的分布，即玩家选任意一种纯策略的期望收益是相同的。

🌟Note: 如果想保持一种”稳定“的局面，每个玩家都没有动机改变当前的策略(或分布)，就要保证它选择每个策略的期望收益都相同

7.4.3 示例

假设玩家1选择的概率是，玩家2选择的概率是

由玩家2选择的期望收益等于玩家2选择的期望收益，得：

由玩家1选的期望收益等于玩家1选的期望收益，得：

解方程得：

因此求得纳什均衡：