1.1 车辆运动学:自行车模型

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七岁的那一年，抓住那只蝉，以为能抓住夏天。—如烟 五月天
🏰代码及环境配置：请参考 环境配置和代码运行!
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要进行轨迹规划算法,首先我们要建立运动学模型来描述车辆的运动.但是真实世界中车辆的运动是复杂的,为了描述和预测车辆在二维平面上的运动,需要对车辆的运动进行简化.运动学模型基于一系列假设，如车辆行驶速度变化缓慢、车身和悬架系统为刚性、车辆运动和转向由前轮驱动等，从而将复杂的车辆动态特性简化为更易于处理的形式.有这几种常见的运动学模型:
  • 自行车模型(Bicycle Model)
  • 阿克曼转向模型(Ackermann steering geometry)
 
我们将分两节介绍这两种模型,本节介绍自行车模型
在进行运动规划时,大部分情况为了减少计算量,我们常用自行车进行相关状态转移.自行车模型是一种简单且有效的简化方式,它基于几个基本假设:
  • 车辆只有前、后两个车轮，且后轮为从动轮（即不转向）。
  • 忽略车辆的垂直方向运动，只考虑二维平面内的运动。
自行车模型将车辆的运动简化为一个两轮模型,即前转向轮和后从动轮,他们位于车辆的中轴线上.自行车模型可以基于不同的参考点(前轴中心,质心,后轴中心),规划算法一般采取后轴中心为参考点,所以我们主要介绍后轴中心的自行车模型.

1.1.1 以后轴中心为参考点的自行车模型

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(1) 基本参数

  • 车辆速度。
  • 车辆质心位置.
  • 车辆瞬时转向中心.
  • 车辆瞬时转向半径.
  • 航向角,车辆当前位置与横坐标的夹角，即车辆的行驶方向。
  • 车辆绕瞬时转向中心旋转的角速度。
  • 前轮转角,车辆前轮相对于车辆纵轴的转角。
  • 轴距,前后轮之间的距离。
  • :时间步长

(2) 速度分解

首先，将速度分解为横向和纵向分量。
  • 横向速度分量：
  • 纵向速度分量：

(3) 航向角变化率

航向角变化率,可以近似认为是角速度,于是可以推导出它的表达:

(4)  状态转移方程

这样就得到了完整的状态转移方程

1.1.2 以前轴中心的为参考点自行车模型

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与后轴中心的推导类似,不在赘述. 状态转移方程:

1.1.3 以质心为参考点的自行车模型

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质心的自行车模型多了一个角,推导如下:
航向角变化率推导如下:
最终完整的状态转移方程如下:

1.1.4 有后轮转向的以质心为参考点的自行车模型

有一些车辆后轮也可以转向, 这里我们也进行状态转移推导.
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(1) 基本参数

  • 车辆速度。
  • 车辆质心位置.
  • 车辆瞬时转向中心.
  • 车辆瞬时转向半径.
  • 车身与质心速度的夹角
  • 航向角, 车辆当前位置与横坐标的夹角，即车辆的行驶方向。
  • 前悬,后悬长度
  • 前轮转角, 后轮转角

(2) 航向角变化率

展开两式可得:
联立两式可得:
航向角变化率约等于角速度,可得:

(3) 状态转移方程

下一节, 我们会解析和运行代码.
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