2.1 基于5次多项式的参数方程曲线(Quintic Polynomial)

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技不如人, 甘拜下风. —刀斯林
🏰代码及环境配置：请参考 环境配置和代码运行!
1.1, 1.2节我们介绍了车辆运动学, 讲解了通过定义状态变量, 控制变量, 状态转移的方式, 来简化车辆的运动. 在运动规划算法中, 直接构造车辆运动学模型, 或者说基于最优控制的轨迹规划. 虽然相对真实和精确, 但是也有它的缺点:
  • 模型的约束一般都是非线性约束, 在优化问题中, 要么将其线性化(丧失精度), 要么构造非线性约束(计算量大)
  • 模型的状态变量, 控制变量一般较多, 相应的需要更多的计算量
因此我们也常用各种形式的曲线来表达车辆轨迹, 与车辆运动模型直接约束控制变量不同的是, 可以通过约束曲线变量来间接的实现相应约束. 比如在车辆运动模型中, 我们通过约束前轮偏角的范围来约束车辆的最小转弯半价. 而在曲线中, 直接约束曲线的曲率就能达到类似的效果.
本章将会对运动规划算法中常见的曲线形式进行介绍. 首先, 我们从最基础的基于5次多项式的参数方程开始.
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2.1.1 基于5次多项式的参数方程定义

假设车辆是一个质点, x和y是质点的坐标, t是时间. x和y分别用关于t的5次多项式参数方程表达:
和都是参数方程的参数.
我们以x的参数方程为例, 它的1阶导数和2阶导数是:
显而易见的是, 代表t时刻x方向的速度, 代表t时刻x方向的加速度

2.1.2 基于5次多项式的参数方程求解

有了定义之后, 我们给出多项式在起点和终点的状态约束:和
将代入上式可以轻松计算出:
所以只剩下3个未知量. 将, 终点状态和总时间代入上式整理可得
最终, 我们只需要求解这个线性方程组. 即可得到完整的参数方程.

2.1.3 优缺点

这种方式的优点是计算简单高效, 对应的缺点是:
  • 曲线其实并不可控和可预见. 因为我们只对始末状态进行了约束, 无法给曲线上始末点之外的点增加相应约束. 因此需要配合采样的方式, 才能找到合适的曲线.
  • 5次多项式能够表达的曲线样式有限, 比如说有些曲线需要更高次的多项式才能表达. 但是我们又不能无限制的去增加维度, 会造成求解困难.
下一节, 我们会解析和运行代码.
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