2.3 贝塞尔曲线(Bézier Curve) | 自动驾驶小白说

2.3.1 感性认识

我们从一维开始,假设有两个控制点, 我们用参数方程表达线段. 显然.

当t从0到1逐渐增大时, 就有了1阶贝塞尔曲线

增加一个控制点, 容易理解的是, 是线段上的点,是线段上的点

我们将的连线(绿色线)也用参数方程表达, 并且取点作为点形成贝塞尔曲线.

我们详细的解释一下, 这里隐含了一个比例的约束:

也就是说参数t实际代表: 当前点在线段上的百分比位置. 比如t=0.5时, 处在线段的中点; 处在线段的中点; 同样, 处于线段的中点;

每一个构成了最终的贝塞尔曲线

再增加一个控制点, 这时将(蓝色线)也连接起来, 同样在线段上按比例t取点, 作为最终的贝塞尔曲线上的点.

类似的, 如果继续增加控制点, 也会用相同的方法按比例新的点, 不再赘述. 显而易见的是, 贝塞尔曲线一定会经过第一个和最后一个控制点, 中间的控制点不保证经过.

有了感性的认识以后, 我们再来推导贝塞尔曲线的数学表达.

我们利用基础向量知识, 来计算1阶贝塞尔曲线的点, 是原点

根据之前的推导, 容易得知:

那么类似的, 处于线段的上百分比t的位置, 我们也容易得知

继续展开

再增加一个控制点, 类似的方式, 处于线段的上百分比t的位置, 我们也容易得知

完全展开之后, 我们可以将它写出矩阵的形式:

实际上, 这也就是3阶贝塞尔曲线的完整表达形式.

在上面的推导中, 我们很容易发现, 不管阶数如何增加, 最开始展开时, 都是在低1阶的贝塞尔曲线点组成的线段上按比例取点. 比如上面推导过的3阶贝塞尔曲线:

是由组成的2阶贝塞尔曲线上的点, 将其定义为是由组成的2阶贝塞尔曲线上的点, 将其定义为

那么, 显然可以重新得到3阶贝塞尔曲线的初始展开式:

类似的，其中的2阶和1阶贝塞尔曲线:

我们发现, 不管阶数是多少, 都是在递归式的展开. 被拿出来多少次, 实际就是概率论中从n个不同元素中取出k个元素的组合方式数. 也就是二项式系数(Binomial coefficient), 我们将其写为:

那么当阶数为n时, 可以写出:

最终, n阶贝塞尔曲线可以整理成如下一般性定义的形式:

举个例子, 当n=5时:

优点:

缺点:

下一节, 我们会解析和运行代码.