2.4 3次螺旋线(Cubic Spiral Curve) | 自动驾驶小白说 🏎️

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应是天仙狂醉，乱把白云揉碎。— 唐李白

之前介绍的曲线形式, 都是基于参数方程构造的. 这种方法有一个共同的缺点: 对于曲线上的弧长, 曲率, 计算比较困难.

正如上式, 他们需要1阶,2阶导数才能得到曲率信息, 需要做大量的求根运算才能得到弧长. 这毫无疑问需要较大的计算资源. 那么如果某些情况下, 我们会大量的用到曲率和弧长, 有没有办法能够方便的得到呢?

2.4.1 3次螺旋线定义

3次螺旋线就是这样一种方法, 它是由一个曲率关于弧长的多项式定义的.

是参数, 这样我们可以直接使用弧长s简单的计算曲率.

但是对应的, 计算x, y会变的很麻烦, 需要使用积分. (这就是人生啊~)

假设我们有一个用3次螺旋线表达的曲线, 它的始末状态分别是.

曲率=切向角的变化率/弧长的变化率. 因此从起始点开始对曲率进行积分可以得到切向角. 很容易可以得到切向角的表达式

接下来我们再计算x,y, 需要通过积分得到:

这样我们有了的完整表达, 但是似乎没有解决问题, 因为积分运算岂不是更复杂?

是的, 我们很难去算这个积分, 但是我们可以求积分的近似值.

辛普森法则（Simpson's Rule）是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。它是基于插值多项式的数值积分方法中的一种，特别地，它使用了二次多项式（抛物线）来逼近被积函数在小区间上的行为。下图的蓝线是原曲线, 红线是逼近的曲线.

该法则通过将积分区间[a,b]等分为n个小区间（n为偶数），然后在每个小区间内选取三个点（例如，第i个小区间的点），利用这三个点构造一条抛物线，以此抛物线的积分值来近似表示该小区间内被积函数的积分值。最终，将所有小区间的积分值相加，得到整个积分区间的近似积分值。

这个动图能够更加直观的解释这个过程, 每3个点构造一个二次多项式, 然后对二次多形式积分.

表示采样点的间距, 可以明显看出来采样点越密集, 整体误差越小. 当然相对的, 计算量越大.

辛普森法则的计算公式有多种形式，其中较为常见的是辛普森1/3法则和辛普森3/8法则。我们使用辛普森1/3法则：

代表在区间内切割成多少份. 我们设定, 将辛普森法则应用到的积分中, 得到积分的近似解.

这样, 我们就得到了最终的表达式.

下一节, 我们会解析和运行代码.