2.5 Dubins曲线

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你的人生刚开始，没有到头。 —狂飙 高启强
🏰代码及环境配置：请参考 环境配置和代码运行!
Dubins曲线是在满足曲率约束, 始末点(x, y, theta)约束, 只能前向 的约束下，一组连接始末点的几何线条的组合.
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2.5.1 Dubins曲线定义

Dubins曲线通常由圆弧段, 直线段组合而成, 有如下约束:
  • 前向: 沿着Dubins曲线行驶的车辆只能向前行驶
  • 曲率约束：Dubins曲线的圆弧段满足特定的曲率约束
  • 切线方向：在起始点和终点，Dubins曲线的切线方向与给定的方向一致
Dubins曲线定义了这几种运动基元:右转弧线（Right）、左转弧线（Left）或直线行驶（Straight）. 他们可以组合成六种基本类型：RSR、RSL、LSR、LSL、RLR、LRL。
假设A点是起点, B点是终点. Dubins曲线会在起点和终点画两个圆, 然后寻找中间线连接这两个圆.
RSL
RSL
RSR
RSR
  • 寻找这两个圆的公切线. 对应了RSR、RSL、LSR、LSL这四种 圆弧-直线-圆弧 的组合
LRL
LRL
  • 或者是构造一个新的中间圆来连接这两个圆, 对应了 RLR、LRL 这两种 圆弧-圆弧-圆弧 的组合
起点和终点的圆的半价, 可以简单设定为最小转弯半径. 因为半价越小, 越容易有解. 但是对于车辆来说, 一直采用最大转角显然不太合理. 所以也可以通过对转弯半价采样的方式, 尝试能不能找到曲率较小的结果.
Dubins曲线会在这些组合中, 挑选一个路径总长度最小的组合作为最优解, 当然也可以根据需求自行确定最优解.
了解了Dubins曲线的定义之后, 接下来的问题就是如何计算这几个中间点.

2.5.2 不同运动基元的状态转移

我们首先计算这些不同的运动基元的状态转移方程.
初始状态是, 终点状态是

2.5.2.1 直行S状态转移方程

直线段的长度为p
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2.5.2.2 左转L状态转移方程

转过的角度是
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2.5.2.3 右转R状态转移方程

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2.5.3 组合不同运动基元

我们组合不同的运动基元, 以LSL为例:
(1)第1步: L. 设第一步L的结束状态是, L转过的角度是. 代入初始状态得:
(2)第2步: S. 设第2步S的结束状态是, 代入得:
(3)第3步: L. 第3步L的结束状态就是终点状态, 代入得:
(4)第4步:联立求解上面的式子, 可以计算出未知项: 转过的角度, 直线段长度, 总长度
其中是指将角度转换到的区间内, 其他的组合诸如LSR,RSL可以类似的方式进行推导.

2.5.4 简洁的计算方式

如果我们将坐标系原点放在起始点, 以始末点的连线作为坐标系的x轴方向. 仍然以LSL为例, 如下图:
notion image
新的坐标系下, 起始点状态是, 终点状态是. 这里将是为了正则化R，这样每个圆的半径都为1，由角度计算弧长时更方便，弧长即等于角度的弧度.
与2.5.3 类似, 可以组合式的调用运动基元状态状态方程, 最终得到出如下方程
比2.5.3简洁很多, 联立求解可得:
其他的组合也是类似的推导.
下一节, 我们会解析和运行代码.

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