自动驾驶小白说 🏎️4.4 Dijkstra算法
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你不能改变过去，但你可以改变未来。
—《狮子王》
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DFS算法无法找到最优解，BFS算法仅仅适用于无权图或者权重相同的图，而Dijkstra算法适用于带有非负权重的有向图和无向图。其由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出，是一种用于在图中找到单源最短路径的算法，解决了从图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径问题，此外，如果知道了源节点到目标节点的最短路径，算法也可以提前终止。
4.4.1 数据结构-优先队列
优先队列（priority queue）是一种抽象的数据类型，其与普通队列（queue）相似但也有所不同，其特性如下：
- 优先队列中的每个元素都有相对应的优先级。
- 在进行移除元素操作时，高优先级的元素将优先被移除。
- 如果两个元素的优先级相同，则按照先进先出（FIFO）的原则进行排序。
其特性表明优先级队列只支持可比较的元素，这意味着元素要么按升序排列，要么按降序排列。
升序优先队列: 小值拥有更高的优先级
降序优先队列: 大值拥有更高的优先级
4.4.2 基本思想
Dijkstra算法的基本思想是从一个源节点开始，逐步向外探索，直至找到从源节点到所有其他节点（或者目标节点）的最短路径。相比较于BFS，其维护了每个节点到源节点的最小累计cost：，每次从队列中取的是cost最小的节点，而非先进入队列的节点。
其算法步骤如下：
- 初始化：
- 创建一个数组
g[]，其中g[i]表示从源节点start到节点i的最小cost，初始时，源节点的cost为0。 - 创建一个布尔数组
visited[]来跟踪每个节点是否已被访问过，初始时，所有顶点都未访问 - 创建一个优先队列
open_list，用于根据cost选择下一个要处理的节点。优先队列中的每个元素是一个包含顶点和cost的配对，初始时将源节点start和其cost(0)加入优先队列。
- 循环处理优先队列中的节点：
- 从优先队列中取出cost最小的节点
v，并将节点v标记为已访问，若节点v就是目标节点，则提前返回。 - 遍历节点
v中所有未被访问过的邻接节点，对于每一个邻接节点next： - 计算邻接节点
next的cost。 - 若邻接节点
next不在优先队列中，则将邻接节点next和其对应的cost加入优先队列，并在数组g[]中设置邻接节点next的cost，最后将临接节点next的父节点设为v。 - 若邻接节点
next在优先队列中，则在数组g[]和优先队列open_list中更新节点next的相关信息，最后将临接节点next的父节点设为v。 - 继续处理优先队列中的顶点，直到队列为空或所有顶点都被访问。
- 从目标节点
goal开始，通过父节点向回追溯，直到起始节点，最终得到一条路径。
其伪代码如下：
4.4.3 Dijkstra算法的图解
以从下面的无向图中寻找出节点
0 到其他所有节点的最短路径为例，其中两个节点之间的权重表示他们之间的距离（或者cost），并初始话两个表：visited nodes info和unvisited nodes info。所有节点的初始cost如下：
- 源节点到自身的cost为0。
- 源节点到其它节点的cost还没有确定，暂时先标记为无穷大。
- 从源节点
0开始，将其加入到已访问列表中，并从未访问列表中删除。同时在未访问列表中更新源节点0的邻近节点（节点1和节点2）的信息。 - 节点
1：节点1最短路径为0 —> 1，cost为2，父节点为0。 - 节点
2：节点2最短路径为0 —> 2，cost为6，父节点为0。
- 查看未访问列表，节点
1的cost最小，因此将其加入到已访问列表中，并从未访问列表中删除。同时在未访问列表中更新节点1的邻近节点（节点3）的信息。 - 节点
3：节点3的最短路径为0 —> 1 —> 3，cost为7，父节点为1。
- 查看未访问列表，节点
2的cost最小，因此将其加入到已访问列表中，并从未访问列表中删除。同时在未访问列表中更新节点2的邻近节点（节点3）的信息。 - 节点
3：此时，节点3有两条可选路径：0 —> 1 —> 3和0 —> 2 —> 3，前者的cost是7，后者的cost是14，因此选择前者，即节点3的最短路径为0 —> 1 —> 3，cost为7，父节点为1。
- 查看未访问列表，节点
3的cost最小，因此将其加入到已访问列表中，并从未访问列表中删除。同时在未访问列表中更新节点3的邻近节点（节点4和节点5）的信息。 - 节点
4：节点4的最短路径为0 —> 1 —> 3 —> 4，cost为17，父节点为3。 - 节点
5：节点5的最短路径为0 —> 1 —> 3 —> 5，cost为22，父节点为3。
- 查看未访问列表，节点
4的cost最小，因此将其加入到已访问列表中，并从未访问列表中删除。同时在未访问列表中更新节点4的邻近节点（节点5和节点6）的信息。 - 节点
5：此时节点5有两条可选路径：0 —> 1 —> 3 —> 5和0 —> 1 —> 3 —> 4 —> 5，前者的cost是22，后者的cost是23，因此选择前者，即节点5的最短路径为0 —> 1 —> 3 —> 5，父节点为3。 - 节点
6：节点6的最短路径为0 —> 1 —> 3 —> 4 —> 6，cost为19，父节点为4。
- 查看未访问列表，节点
6的cost最小，因此将其加入到已访问列表中，并从未访问列表中删除。同时在未访问列表中更新节点6的邻近节点（节点5）的信息。 - 节点
5：此时节点5共有3条可选路径（如下），因此最短路径为0 —> 1 —> 3 —> 5，cost为22，父节点为3。 0 —> 1 —> 3 —> 5，cost为22。0 —> 1 —> 3 —> 4 —> 5，cost为23。0 —> 1 —> 3 —> 4 —> 6 —> 5,cost为25。
- 查看未访问列表，节点
5的cost最小，因此将其加入到已访问列表中，并从未访问列表中删除。此时未访问列表中没有节点，因此搜索结束。此时，我们可以给定目标节点，并通过回溯父节点的方式找到从源节点到目标节点的最短路径。例如我们另节点6是目标节点，可以得到从源节点到目标节点的最短路径为：0 —> 1 —> 3 —> 4 —> 6
4.4.4 Dijkstra算法特点
- 优点：
（1）总能找到从单个源点到图中所有其他顶点的最短路径，前提是所有的边权重都是非负的。
（2）原理简单，应用广泛，且满足最优性原则。
- 缺点：
（1）搜索时没有引入目标节点的信息，导致搜索效率较低。
（2）不适用于包含负权重的图。
4.4.5 参考
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